Konsep dan Contoh Soal Elastisitas dan Hukum Hooke - Fisika SMA Kelas 11

Ketika gaya bekerja pada suatu benda, dimungkinkan terjadi deformasi atau perubahan bentuk pada benda tersebut. Jika gaya tersebut sudah tidak bekerja lagi, maka ada benda yang mampu kembali ke bentuk semula dan ada benda yang tidak mampu kembali ke bentuk semula. Kemampuan benda untuk kembali atau mempertahankan bentuk semula setelah terjadi deformasi disebut sebagai elastisitas bahan. Konsep elastisitas menjadi materi fisika SMA kelas 11 pada kurikulum 2013. Di dalam materi elastisitas, terdapat beberapa topik yang saling berhubungan yaitu tegangan dan regangan, modulus elastisitas atau modulus Young, serta Hukum Hooke. Artikel ini akan membahas masing-masing topik itu dalam konsep elastisitas beserta contoh soal baik tentang tegangan, regangan, modulus Young, dan soal Hukum Hooke.

1. Pengertian Elastisitas dan Hukum Hooke

Jika ada suatu benda ditarik oleh gaya $F$ (dalam contoh pada gambar di atas adalah gaya berat $w$), maka akan terjadi pertambahan panjang sebesar $\Delta l$. Fenomena tersebut telah ditemukan oleh Robert Hooke. Selanjutnya, Hooke menemukan bahwa hubungan $F$ dan $\Delta l$ linier dengan konstanta $k$ yang kemudian dinyatakan dalam Hukum Hooke:

$F=k\cdot \Delta l$

Dalam wilayah hubungan linier tersebut, benda dapat kembali ke ukuran atau bentuk semula setelah gaya tidak lagi bekerja. Inilah yang disebut sebagai wilayah elastis dari suatu bahan. Selanjutnya jika ditarik terus dengan gaya $F$, ternyata benda tersebut mencapai suatu wilayah yang ternyata sudah tidak mampu kembali ke bentuk semula, inilah yang dimaksud wilayah sifat plastis bahan. Dan jika ditarik terus, maka benda tersebut akan mencapai titik patah atau breaking point.

Pada Hukum Hooke, nilai $k$ juga bisa disebut sebagai konstanta elastisitas bahan dan jika pada kasus pegas, nilai $k$ juga disebut sebagai konstanta pegas.

2. Tegangan dan Regangan

Pada gambar di atas ada sebuah benda sepanjang ${{l}_{o}}$ dan memiliki luas penampang $A$ ketika ditarik gaya $F$ (Gambar a) dan ketika benda ditekan dengan gaya $F$ (Gambar b). Benda tersebut mengalami pertambahan panjang (Gambar a) dan mengalami pemampatan (Gambar b) masing-masing sebesar $\Delta l$. Intinya terjadi perubahan panjang sebesar $\Delta l$ pada benda jika dikenai gaya $F$.

Nah, gaya $F$ yang bekerja pada penampang seluas $A$ disebut sebagai tegangan (stress) $\sigma $ dengan persamaan:

$\sigma =\frac{F}{A}$

Selanjutnya terjadi perubahan panjang $\Delta l$ dari benda sepanjang ${{l}_{o}}$ jika terjadi tegangan pada benda, yang disebut sebagai regangan (strain) $\varepsilon $, dengan persamaan:

$\varepsilon =\frac{\Delta l}{{{l}_{o}}}$

Jadi tegangan yang bekerja pada suatu benda berpengaruh terhadap regangan benda tersebut.

3. Modulus Young atau Modulus Elastisitas

Perbandingan antara tegangan dan regangan pada suatu benda disebut sebagai modulus Young $E$. Nilai modulus Young bergantung pada jenis bahan benda tersebut. Berikut ini persamaan untuk menentukan modulus Young dari suatu bahan:

$\begin{align}
  & E=\frac{\sigma }{\varepsilon } \\
 & E=\frac{{}^{F}/{}_{A}}{{}^{\Delta l}/{}_{{{l}_{o}}}} \\
 & E=\frac{F\cdot {{l}_{o}}}{A\cdot \Delta l} \\
\end{align}$

Nilai modulus Young $E$ juga berhubungan dengan konstanta elastisitas $k$ suatu bahan. Coba kita cari hubungannya dari analisis persamaan persamaan Hukum Hooke dan persamaan hubungan modulus Young, tegangan, dan regangan.

Sudah kita ketahui bahwa $F=k\cdot \Delta l$ dan nilai $E=\frac{F\cdot {{l}_{o}}}{A\cdot \Delta l}$. Jika kita substitusi nilai $k$ ke dalam nilai  $E$, maka di dapatkan hubungan berikut:

$\begin{align}
  & E=\frac{(k\cdot \Delta l)\cdot {{l}_{o}}}{A\cdot \Delta l} \\
 & E=\frac{k\cdot {{l}_{o}}}{A} \\
\end{align}$

Berdasarkan nilai tersebut, kita dapatkan nilai konstanta elastisitas berikut ini:

$k=\frac{A}{{{l}_{o}}}E$

Contoh Soal Elastisitas dan Hukum Hooke

(1). Sebuah kawat baja sepanjang 1,6 m memiliki diameter 0,2 cm. Jika kawat tersebut meregang 0,25 cm ketika ditarik suatu gaya, maka besar gaya tegangan pada kawat tersebut adalah...(modulus Young kawat baja adalah $2\times {{10}^{11}}{N}/{{{m}^{2}}}\;$)

Jawab:

$\begin{align}
  & E=\frac{F\cdot {{l}_{o}}}{A\cdot \Delta l} \\
 & F=\frac{\Delta l}{{{l}_{o}}}\cdot E\cdot A \\
\end{align}$

Dengan luas penampang berupa lingkaran, maka:

$A=\pi \cdot {{r}^{2}}=3,14\cdot {{({{10}^{-3}}m)}^{2}}=3,14\times {{10}^{-6}}{{m}^{2}}$

Selanjutnya nilai A kita substitusikan untuk mencari nilai $F$ berikut ini:

$\begin{align}
  & F=\frac{0,0025m}{1,6m}\cdot 2\times {{10}^{11}}{N}/{{{m}^{2}}}\;\cdot (3,14\times {{10}^{-6}}{{m}^{2}}) \\
 & F=980N \\
\end{align}$

(2). Dua buah kawat baja memiliki panjang yang sama dan sedang mengalami gaya tegang yang sama pula. Tetapi, diameter kawat A dua kali dari diameter kawat B. Perbandingan pertambahan panjang kawat A dan kawat B adalah...

Jawab:

Karena dua buah kawat sama-sama terbuat dari baja, maka

$\begin{align}
  & {{E}_{1}}={{E}_{2}} \\
 & \frac{F\cdot {{l}_{o}}}{{{A}_{1}}\cdot \Delta {{l}_{1}}}=\frac{F\cdot {{l}_{o}}}{{{A}_{2}}\cdot \Delta {{l}_{2}}} \\
\end{align}$

Selanjutya, nilai gaya dan panjang awal kedua kawat sama, maka bisa saling dieliminasi, sehingga persamaan menjadi:

$\begin{align}
  & \frac{1}{{{A}_{A}}\cdot \Delta {{l}_{A}}}=\frac{1}{{{A}_{B}}\cdot \Delta {{l}_{B}}} \\
 & \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{{{A}_{B}}}{{{A}_{A}}} \\
 & \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{{\scriptstyle{}^{1}/{}_{4}}\pi {{d}_{B}}^{2}}{{\scriptstyle{}^{1}/{}_{4}}\pi {{d}_{A}}^{2}} \\
 & \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{{{d}_{B}}^{2}}{{{(2{{d}_{B}})}^{2}}}\mapsto ({{d}_{A}}=2{{d}_{B}}) \\
 & \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{1}{4} \\
\end{align}$

Jadi nilai $\Delta {{l}_{A}}:\Delta {{l}_{B}}=1:4$

4. Rangkaian Pegas dan Getaran Pegas

Pada gambar di atas dapat diketahui nilai gaya pegas yang sesuai dengan Hukum Hooke adalah:

${{F}_{p}}=k\cdot \Delta x$

dengan nilai $k$ adalah konstanta pegas, $\Delta x$ adalah pertambahan panjang pegas, dan ${{F}_{p}}$ adalah gaya pegas. Maksud dari persamaan itu adalah, jika suatu pegas dengan konstanta $k$ disimpangkan dari keadaan setimbang sejauh $\Delta x$, maka pegas itu memiliki gaya pegas sebesar ${{F}_{p}}$. Arah gaya pegas atau disebut juga gaya pemulih selalu menuju titik setimbang.

Pada kondisi tersebut, pegas juga memiliki energi potensial sebesar:

${{E}_{p}}=\frac{1}{2}\cdot {{F}_{p}}\cdot \Delta x$

dengan nilai ${{F}_{p}}=k\cdot \Delta x$, maka nilai energi potensial juga bisa dirumuskan sebagai:

${{E}_{p}}=\frac{1}{2}\cdot k\cdot \Delta {{x}^{2}}$

Beberapa model soal fisika menggunakan kombinasi rangkaian pegas dalam sebuah sistem. Nah, pada dasarnya ada 2 jenis rangkaian pegas, yaitu rangkaian seri dan rangkaian paralel.

Gambar a merupakan rangkaian pegas seri. Pada rangkaian pegas seri, berlaku prinsip-prinsip berikut:

$\begin{align}
  & \Delta {{x}_{s}}=\Delta {{x}_{1}}+\Delta {{x}_{2}} \\
 & \frac{F}{{{k}_{s}}}=\frac{{{F}_{1}}}{{{k}_{1}}}+\frac{{{F}_{2}}}{{{k}_{2}}}\to (F={{F}_{1}}={{F}_{2}}) \\
 & \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}} \\
\end{align}$

Gambar b merupakan rangkaian pegas paralel. Pada rangkaian pegas paralel, berlaku prinsip-prinsip berikut:

$\begin{align}
  & F={{F}_{1}}+{{F}_{2}} \\
 & {{k}_{p}}\cdot \Delta {{x}_{p}}={{k}_{1}}\cdot \Delta {{x}_{1}}+{{k}_{2}}\cdot \Delta {{x}_{2}}\to (\Delta {{x}_{p}}=\Delta {{x}_{1}}=\Delta {{x}_{2}}) \\
 & {{k}_{p}}={{k}_{1}}+{{k}_{2}} \\
\end{align}$

Pada beberapa model kasus atau soal fisika SMA, rangkaian pegas tidak hanya tersusun seri atau paralel saja, tetapi ada yang merupakan susunan rangkaian campuran. Nah, konsep inti dari sistem rangkaian pegas adalah jika pegas tidak tunggal, maka konstanta elastisitas $k$ sistem tersebut menggunakan konstanta pengganti dari seluruh pegas, menyesuaikan jenis rangkaiannya.

Sedikit kita bahas lagi tentang getaran harmonik pada pegas. Mengapa perlu dibahas, karena beberapa model soal HOTS fisika tentang pegas, dimungkinkan ada kombinasi antara konsep rangkaian pegas, Hukum Hooke, getaran harmonik pegas, dan energi mekanik dalam getaran. Secara lebih detail tentang getaran, akan dibahas dalam bab getaran dan gelombang.

Nah, langsung saja kita mulai bahas konsep getaran harmonik pegas. Dalam getaran, ada besaran dasar yang perlu dipahami, yaitu frekuensi getaran, periode getaran, simpangan getaran, dan amplitudo getaran.

Gambar di atas menunjukkan benda bermassa $m$ yang ditautkan pada pegas sedang bergetar harmonik. Pegas memiliki konstanta elastisitas sebesar $k$. Titik $O$ adalah posisi kesetimbangan, titik $B$ adalah posisi benda pada simpangan $x$, selanjutnya titik $C$ dan $D$ adalah posisi simpangan maksimum $A$ (amplitudo).

Frekuensi getaran dan periode getaran:

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$ karena nilai $T=\frac{1}{f}$, maka nilai $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Persamaan simpangan, kecepatan, dan percepatan:

$\begin{align}
  & x=A\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
 & v=\omega A\cos \left( \omega \cdot t \right) \\
 & a=-{{\omega }^{2}}A\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
\end{align}$ dengan nilai $\omega =2\pi \cdot f=\frac{2\pi }{T}$

Kekekalan Energi Mekanik berlaku pada getaran harmonik pegas. Artinya energi mekanik pada masing-masing posisi di $O$, $B$, $C$, dan $D$ selalu sama. Yang berbeda adalah nilai energi potensial pegas dan energi mekanik pada masing-masing titik tersebut.

Nilai energi mekanik pada getaran harmonik pegas adalah ${{E}_{M}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$. Nilai ini didapatkan saat posisi benda berada pada simpangan maksimum getaran. Jadi ketika berada di simpangan maksimum, kecepatan getaran adalah nol (berhenti sejenak) ${{E}_{k}}=0$ dan nilai energi potensial maksmum sebesar ${{E}_{p}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$. Sehingga nilai energi mekanik (jumlah dari ${{E}_{p}}$ dan ${{E}_{k}}$) adalah $\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$.

Contoh Soal Rangkaian Pegas dan Getaran Pegas

(1). Tentukan nilai konstanta pegas dari sistem pegas berikut ini jika nilai $k=100{N}/{m}\;$!

Jawab:

$\begin{align}
  & {{k}_{p1}}=k+k+k \\
 & {{k}_{p1}}=3k \\
\end{align}$

$\begin{align}
  & {{k}_{p2}}=k+k \\
 & {{k}_{p2}}=2k \\
\end{align}$

Nilai konstanta pengganti sama dengan konstanta seri dari dua konstanta paralel di atas

$\begin{align}
  & \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{1}{{{k}_{p1}}}+\frac{1}{{{k}_{p2}}} \\
 & \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{1}{3k}+\frac{1}{2k} \\
 & \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{2+3}{6k} \\
 & {{k}_{s}}=\frac{6}{5}k=\frac{6}{5}\cdot 100=120{N}/{m}\; \\
\end{align}$

(2). Benda yang bermassa 100 gram ditautkan pada pegas dengan konstanta $k$. Kemudian benda tersebut bergerak harmonik dengan amplitudo 12 cm dan periode 0,2 sekon. Saat benda berada pada simpangan setengah amplitudonya, besar gaya pemulih pegas tersebut adalah...

Jawab:

$\begin{align}
  & A=12cm\to \Delta x=\frac{1}{2}A=6cm=0,06m \\
 & T=0,2s\to m=100gr=0,1kg \\
\end{align}$


$\begin{align}
  & T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\
 & k=4{{\pi }^{2}}\frac{m}{{{T}^{2}}} \\
 & k=4\cdot 3,{{14}^{2}}.\frac{0,1}{0,{{2}^{2}}} \\
 & k\approx 97{N}/{m}\; \\
\end{align}$


$\begin{align}
  & F=k\cdot \Delta x \\
 & F=97\cdot 0,06 \\
 & F=5,82N \\
\end{align}$

3. Pada saat energi kinetik benda yang melakukan gerak harmonik sederhana sama dengan energi potensialnya, maka sudut fasenya adalah...

Jawab:

${{E}_{p}}+{{E}_{k}}={{E}_{M}}$

dengan nilai ${{E}_{M}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$ dan nilai ${{E}_{p}}={{E}_{k}}$ maka:

$\begin{align}
  & 2{{E}_{p}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}} \\
 & 2\cdot \frac{1}{2}k\cdot \Delta {{x}^{2}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}} \\
 & \Delta {{x}^{2}}=\frac{1}{2}{{A}^{2}} \\
 & \Delta x=\frac{1}{2}\sqrt{2}A \\
\end{align}$

Nilai simpangan pada saat ${{E}_{p}}={{E}_{k}}$ adalah $x=\frac{1}{2}\sqrt{2}A$, kemudian substitusikan ke persamaan simpangan getaran:

$\begin{align}
  & x=A\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
 & \frac{1}{2}\sqrt{2}A=A\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
 & \frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
 & \left( \omega \cdot t \right)={{45}^{o}} \\
\end{align}$

Nah, nilai sudut fasenya adalah sebesar $\left( \omega \cdot t \right)=\theta ={{45}^{o}}$

Untuk lebih memahami konsep elastisitas, gaya pegas, Hukum Hooke, dan rangkaian pegas, silakan temen-temen bisa melihat soal latihan gaya pegas dan rangkaian pegas berikut ini.

Share this post